第一一一章 数学
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但就是这些简单的内容，一段时间后，方然却沮丧的发现，
他看不懂。
印在纸面上的字迹，词汇，或者语句，单独挑出来并不难理解，公式推导的难度稍高，但也不是无法克服的困难。
但，透过这些学术气息十足、偶然带些物理学家们特有幽默感的行文，潜藏在字里行间的物理思维和体系，却时常让他不知所云，甚至眼前发黑，艰于呼吸。
“张量分析”，“超大质量天体构型”，“引力潮汐”……
这些理论、分析，物理世界的璀璨明珠，方然在大学物理课上也曾接触过，并非一窍不通，然而要把理论应用到客观世界的认识和分析上，譬如说，如何用这些强有力的工具去论证宇宙的演化和最终命运，空有结论的他，就有些无从下手，甚至连前沿研究的文献都让他一头雾水。
是数学能力的限制吗，似乎是，但似乎又不全是。
翻阅书籍，查询资料，有时候还会从联邦物理学会的资料库里拖数据，方然有起码的数学素养，也差不多能看懂那些艰深晦涩的公式推导，他所不明白的，是研究物理学的那些人，如何知道要在何种情况下，提出什么样的理论假说，然后再挑选适当的数学工具，结合实践去验证。
正如学习的意义，过程。往往比结论更重要。
基础物理的研究成果，连篇累牍，一接上互联网就唾手可得，任何接受过理工科高等教育的人，只要肯下功夫，花些时间，也并不难看得懂。
但方然的目标并不只是看懂，他还想透过这些结论，逐渐习得物理学家观察、思考和分析宏观对象的思维方式，这种事的难度就高得多，至少，没有挑灯夜战短期速成的捷径。
想一想也明白，伯克利的基础物理专业，录取难度之高，本来也不是一般人都能窥见门径。
但，藉由敏锐的洞察力，方然仍意识到，自己在物理学的高楼大厦面前碰壁，主要还是因为，这门学科的性质所致。
物理，没有“科学之父”的头衔，也没有“科学之母”的桂冠，在理论派学者的眼中，似乎还不如数学和哲学重要。
但从实践的角度，物理的地位，则独一无二。
人的一切科学研究，抛开现实意义的动机，根本出发点，是认识，分析，改造客观世界，在这样的过程中，数学固然是有力的工具，哲学则是有力的指导，但归根结底，不论纸上的公式，还是脑中的思想，本身都无法对现实世界有一丝一毫的影响，而必须借助于物理，和广义上可归类于物理过程的化学、生物等衍生学科。
在方然所处的时代，西历1472年，身为研究生，他明白当今时代的数学研究，至少是理论层面的研究，大大超前于物理这样的实践科学。
然而他更明白，若没有实践的探索验证，一切高远深邃的数学理论，哲学论题，那些人类智慧的璀璨结晶，即便光芒夺目，也永远无法落实到真与伪，而只能隐藏起斑斓色彩，在未可知的灰暗浓雾中飘荡。
数学体系，作为一个自我反馈的系统，今天的成就，远远超脱了现实。
要理解这一点，不需要列举多么高深的数学理论，只看人类已知的，“有意义”的最大数字如何：
植根于实践的物理，随便报出10^80，可观测宇宙中基本粒子的总数，也就是一亿兆兆兆兆兆兆，对人类而言，这样的数字不仅无法想象，事实上也的确震撼之极，毕竟可观测宇宙是直径九百二十亿光年的庞然大物，仰望星空时，也的确会让人自觉渺小，体会到这至极的浩瀚无限。
然而数学的立场又如何呢：
事实上，完全取决于数学家们，如何摆弄和定义他们手上的古怪符号。
且不谈此前的“葛立恒数”，一个64层箭头计数法的怪物，数学家从看似简单明了的画树问题出发，推导出的TREE(3)，数值度量已经大到了无法描述，并非方然能力有限，而是真不知道要怎样解释，数学家应该会感兴趣，但作为一个追寻永生的人，他并没心思在这上面花费时间。
TREE(3)，即便度量上大到不可思议，推导却出奇的简单。
设想这样一个题目，用n种不同的颜色，尝试画一棵棵计算机领域常见的“树”，排列下去，要求只有两点，一，第m棵树只能有不超过m个节点，二，排在前面的树不能是后面的树的子集。
规则就这么两条，倘若动手试一试，TREE(1)仅仅等于1，TREE(2)也不过才等于3；
然而到了TREE(3)，数字，就突然暴涨，变得无法描述。
TREE(3)究竟有多大，对方然而言，并不称其为一个问题，反正肯定小于“无穷大”就是了，克鲁斯科尔树定理能保证这点。
甚至，不用说什么“最大的数”；
即便中学课本就涉及的“无穷大”，在稍艰深的数学领域，也早被赋予了多样化的定义。
一般学生多少知道，此无穷大不一定“等于”彼无穷大，都是无穷大，彼此之间也能分出高下，但要说发端于格奥尔格*康托尔的，彼此差距可以大到无穷多倍的阿列夫零、一、二……凡此种种，究竟对应什么样的实践意义，就完全无从下手。
当今时代的数学，前沿领域，不仅完全跳脱公众的眼界，甚至也位于大多数数学教学、实践者的视线之外。
由此，一般人往往会感慨，认为数学的奥秘深不可测。
但在方然看来，现代数学的前沿成就，以数论为领掣的高不可攀理论，地位，或许并不像它们在逻辑科学体系中的位置那样重要。
数学，即便再怎样繁复难解，毕竟只是理论。
其与物理的关系，也仿佛折纸，好似一张平坦纸张的客观世界，经由眼花缭乱的变幻折叠，最终成为对人类有意义的对象，这过程，是物理的，是纯客观的，而有着“科学之父”头衔的数学，不过是这变幻折叠的规则，手段。
这些规则和手段，其意义，终究还是要建立在折叠出的成品之上。
但就是这些简单的内容，一段时间后，方然却沮丧的发现，
他看不懂。
印在纸面上的字迹，词汇，或者语句，单独挑出来并不难理解，公式推导的难度稍高，但也不是无法克服的困难。
但，透过这些学术气息十足、偶然带些物理学家们特有幽默感的行文，潜藏在字里行间的物理思维和体系，却时常让他不知所云，甚至眼前发黑，艰于呼吸。
“张量分析”，“超大质量天体构型”，“引力潮汐”……
这些理论、分析，物理世界的璀璨明珠，方然在大学物理课上也曾接触过，并非一窍不通，然而要把理论应用到客观世界的认识和分析上，譬如说，如何用这些强有力的工具去论证宇宙的演化和最终命运，空有结论的他，就有些无从下手，甚至连前沿研究的文献都让他一头雾水。
是数学能力的限制吗，似乎是，但似乎又不全是。
翻阅书籍，查询资料，有时候还会从联邦物理学会的资料库里拖数据，方然有起码的数学素养，也差不多能看懂那些艰深晦涩的公式推导，他所不明白的，是研究物理学的那些人，如何知道要在何种情况下，提出什么样的理论假说，然后再挑选适当的数学工具，结合实践去验证。
正如学习的意义，过程。往往比结论更重要。
基础物理的研究成果，连篇累牍，一接上互联网就唾手可得，任何接受过理工科高等教育的人，只要肯下功夫，花些时间，也并不难看得懂。
但方然的目标并不只是看懂，他还想透过这些结论，逐渐习得物理学家观察、思考和分析宏观对象的思维方式，这种事的难度就高得多，至少，没有挑灯夜战短期速成的捷径。
想一想也明白，伯克利的基础物理专业，录取难度之高，本来也不是一般人都能窥见门径。
但，藉由敏锐的洞察力，方然仍意识到，自己在物理学的高楼大厦面前碰壁，主要还是因为，这门学科的性质所致。
物理，没有“科学之父”的头衔，也没有“科学之母”的桂冠，在理论派学者的眼中，似乎还不如数学和哲学重要。
但从实践的角度，物理的地位，则独一无二。
人的一切科学研究，抛开现实意义的动机，根本出发点，是认识，分析，改造客观世界，在这样的过程中，数学固然是有力的工具，哲学则是有力的指导，但归根结底，不论纸上的公式，还是脑中的思想，本身都无法对现实世界有一丝一毫的影响，而必须借助于物理，和广义上可归类于物理过程的化学、生物等衍生学科。
在方然所处的时代，西历1472年，身为研究生，他明白当今时代的数学研究，至少是理论层面的研究，大大超前于物理这样的实践科学。
然而他更明白，若没有实践的探索验证，一切高远深邃的数学理论，哲学论题，那些人类智慧的璀璨结晶，即便光芒夺目，也永远无法落实到真与伪，而只能隐藏起斑斓色彩，在未可知的灰暗浓雾中飘荡。
数学体系，作为一个自我反馈的系统，今天的成就，远远超脱了现实。
要理解这一点，不需要列举多么高深的数学理论，只看人类已知的，“有意义”的最大数字如何：
植根于实践的物理，随便报出10^80，可观测宇宙中基本粒子的总数，也就是一亿兆兆兆兆兆兆，对人类而言，这样的数字不仅无法想象，事实上也的确震撼之极，毕竟可观测宇宙是直径九百二十亿光年的庞然大物，仰望星空时，也的确会让人自觉渺小，体会到这至极的浩瀚无限。
然而数学的立场又如何呢：
事实上，完全取决于数学家们，如何摆弄和定义他们手上的古怪符号。
且不谈此前的“葛立恒数”，一个64层箭头计数法的怪物，数学家从看似简单明了的画树问题出发，推导出的TREE(3)，数值度量已经大到了无法描述，并非方然能力有限，而是真不知道要怎样解释，数学家应该会感兴趣，但作为一个追寻永生的人，他并没心思在这上面花费时间。
TREE(3)，即便度量上大到不可思议，推导却出奇的简单。
设想这样一个题目，用n种不同的颜色，尝试画一棵棵计算机领域常见的“树”，排列下去，要求只有两点，一，第m棵树只能有不超过m个节点，二，排在前面的树不能是后面的树的子集。
规则就这么两条，倘若动手试一试，TREE(1)仅仅等于1，TREE(2)也不过才等于3；
然而到了TREE(3)，数字，就突然暴涨，变得无法描述。
TREE(3)究竟有多大，对方然而言，并不称其为一个问题，反正肯定小于“无穷大”就是了，克鲁斯科尔树定理能保证这点。
甚至，不用说什么“最大的数”；
即便中学课本就涉及的“无穷大”，在稍艰深的数学领域，也早被赋予了多样化的定义。
一般学生多少知道，此无穷大不一定“等于”彼无穷大，都是无穷大，彼此之间也能分出高下，但要说发端于格奥尔格*康托尔的，彼此差距可以大到无穷多倍的阿列夫零、一、二……凡此种种，究竟对应什么样的实践意义，就完全无从下手。
当今时代的数学，前沿领域，不仅完全跳脱公众的眼界，甚至也位于大多数数学教学、实践者的视线之外。
由此，一般人往往会感慨，认为数学的奥秘深不可测。
但在方然看来，现代数学的前沿成就，以数论为领掣的高不可攀理论，地位，或许并不像它们在逻辑科学体系中的位置那样重要。
数学，即便再怎样繁复难解，毕竟只是理论。
其与物理的关系，也仿佛折纸，好似一张平坦纸张的客观世界，经由眼花缭乱的变幻折叠，最终成为对人类有意义的对象，这过程，是物理的，是纯客观的，而有着“科学之父”头衔的数学，不过是这变幻折叠的规则，手段。
这些规则和手段，其意义，终究还是要建立在折叠出的成品之上。